martes, 24 de enero de 2012

LEY DE FOURIER. FLUJO DE CALOR EN UNA BARRA METÁLICA ESTABILIZADA ENTRE DOS PUNTOS DE TEMPERATURA

LEY DE FOURIER. FLUJO DE CALOR EN UNA BARRA METÁLICA ESTABILIZADA ENTRE DOS PUNTOS DE TEMPERATURA

 CETYS Universidad

 

Abstract-El objetivo fundamental de este proyecto  es el estudio del proceso de transferencia de calor aplicado a barras con coordenadas rectangulares de área constante, y composición homogénea de material y las propiedades térmicas de los sólidos. Por medio de este análisis aplicaremos las ecuaciones de la ley de Fourier en coordenadas rectangulares y verificaremos en un experimento la temperatura en diferentes puntos de  una barra estabilizada térmicamente entre dos fuentes de calor, una fuente caliente y una fuente fría.

 

                                                                                                                                                                   I.  INTRODUCCIÓN

Cuando las partículas están en movimiento dentro de un sistema, se produce un intercambio de calor entre ellas, este fenómeno se denomina: transferencia de calor. Debido a que se dan choques entre las moléculas que transfieren energía cinética de unas a otras.

Este informe consta de un marco teórico, datos experimentales, resultados, análisis de los mismos y las conclusiones obtenidas luego de realizar la práctica.

a.  Que es conducción térmica:

La transmisión de calor por conducción puede realizarse en cualquiera de los tres estados de la materia: sólido, líquido y gaseoso.

Para explicar el mecanismo físico de la conducción, pensemos en un gas en el que existe un gradiente de temperaturas y no hay movimiento global. El gas ocupa todo el espacio entre las dos superficies como se muestra en la figura 1. Asociamos la temperatura del gas en cualquier punto con la energía que poseen sus moléculas en las proximidades de dicho punto. Cuando las moléculas vecinas chocan ocurre una transferencia de energía desde las moléculas más energéticas a las menos energéticas. En presencia de un gradiente de temperaturas la transferencia de calor por conducción debe ocurrir en el sentido de la temperatura decreciente, esto es en la dirección positiva del eje de las x.

En los líquidos la situación es muy similar que en los gases, aunque las moléculas están menos espaciadas y las interacciones son más fuertes y frecuentes.

En los sólidos la conducción se produce por cesión de energía entre partículas continuas (Vibraciones reticulares).  En un sólido no conductor la transferencia de energía ocurre

 

Fig. 1 Moleculas en un gas, portadoras de energia cinética

 

solamente por estas vibraciones reticulares, en cambio en los sólidos conductores se debe también al movimiento de traslación de los electrones libres. La conducción en un medio material, goza pues de un soporte, que son sus propias moléculas y se puede decir que macroscópicamente no involucra transporte de materia.

 

                                                                                                                                                       II. EQUILIBRIO TÉRMICO

En primer lugar, construiremos un modelo simplificado que explique la conducción térmica, es decir, el establecimiento de un flujo de calor entre elementos adyacentes de la barra, cuando exista un gradiente de temperatura.

Cuando se ponen en contacto dos cuerpos a temperaturas diferentes, intercambiarán energía hasta que ambos alcancen el equilibrio térmico a la misma temperatura.

El equilibrio no es estático sino dinámico, ya que los dos cuerpos pueden intercambiar energía a nivel microscópico, aunque dicho intercambio tiene lugar en ambas direcciones, no habiendo en promedio intercambio neto en ninguna de las dos.

El caso más simple es aquél en el que ambos subsistemas tienen el mismo número de partículas, la temperatura de equilibrio es la media de las temperaturas iniciales de ambos cuerpos

En el caso general, de que el primer subsistema tenga N1 partículas a la temperatura inicial T1, y el segundo tenga N2 partículas a la temperatura T2 al ponerlos en contacto térmico intercambiarán energía hasta que se alcance la temperatura de equilibrio dada por la media ponderada

La temperatura final no es fija sino que fluctúa alrededor de la temperatura de equilibrio, las fluctuaciones, como podemos comprobar, disminuyen al incrementarse el tamaño del sistema.

Un concepto que podemos añadir es el de irreversibilidad que significa la improbabilidad de alcanzar el estado inicial desde el estado final de equilibrio a la misma temperatura. Esta improbabilidad se debe al gran número de constituyentes del sistema. El número de partículas es pequeño, pero en un sistema real el número de partículas es muy elevado, por ejemplo, un mol de cualquier sustancia contiene 6.02 1023 moléculas.

 

                                                                                                                       III. ESTUDIO DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR

Nuestro modelo de conducción térmica es una generalización del modelo anteriormente expuesto. Consideremos la barra metálica dividida en N trozos, cada trozo supondremos que constituye un subsistema a la misma temperatura, cada uno de ellos intercambia energía con los adyacentes, los de los extremos intercambian energía con los focos frío y caliente respectivamente. Se supone que los focos son tan grandes que su temperatura se mantiene constante durante todo el proceso.

El experimento consiste en asignar una temperatura fija a los subsistemas extremos y una temperatura inicial al resto, dejándoles interaccionar, hasta lograr el equilibrio.

Mediante este experimento podremos demostrar la validez de la ley de Fourier, que describe la distribución de la energía calorífica en un cuerpo en equilibrio térmico con geometrías específicas y materiales homogéneos

 Se produce un flujo de energía siempre que haya una diferencia de temperatura entre elementos adyacentes, y este flujo es tanto más grande cuanto mayor sea la diferencia de temperatura.

 

                                                                                                                                                             IV. LEY DE FOURIER.

Jean Baptiste Fourier en su obra Teoría Analítica del Calor (Theorie analytique de la chaleur) trata el problema de la difusión del calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, el problema discreto.

En su obra, afirma que la velocidad de conducción de calor a través de un cuerpo por unidad de sección transversal es proporcional al gradiente de temperatura que existe en el.

La ley de Fourier fue establecida en 1822 la cual fue:

Donde:




 

Fig. 2 Convenio de signos para la transmisión de calor

Fig. 3 Flujo de calor en una barra, la diferencia de temperaturas es entre sus extremos.

 

El signo menos (-) es consecuencia del Segundo Principio de la Termodinámica, según el cual, el calor debe fluir hacia la zona de temperatura más baja (figura 2). El gradiente de temperaturas es negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x,  por lo que si el calor transferido en la dirección positiva debe ser una magnitud positiva, en el segundo miembro de la ecuación anterior hay que introducir un signo negativo.

Sea J la densidad de corriente de energía (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), que se establece en la barra debido a la diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía J y el gradiente de temperatura.

Siendo K una constante característica del material denominada conductividad térmica. En la figura 3 se muestra un diagrama de cómo sería el flujo de energía calorífica en una barra.

La ecuación general para la relación de Transferencia de flujo de calor considera no solo el gradiente o derivada direccional en el sentido de uno solo de los ejes, sino en los tres, haciendo uso de la definición de gradiente:

Esta expresa el flujo de calor como la proporcionalidad al gradiente de temperatura.

En el proyecto utilizaremos la ecuación que es de transferencia de calor por conducción donde intuiremos que es el caso de sólidos donde Cp = Cv es:

Suponiendo que k es constante y si la conductividad térmica también la ecuación de la energía es:

Para un sistema en el que se encuentran presentes fuentes de calor pero no hay variación en el tiempo se reduce a la ecuación de Poisson:

Y la forma final de la ecuación de la conducción de calor que se presenta se aplica a una situación en estado estacionario sin fuentes de calor. Para este caso la distribución de la temperatura se debe satisfacer por la ecuación de Laplace:

Cada una de las ecuaciones pasadas se ha representado en forma general, así que cada una se aplica a cualquier sistema coordenadas ortogonales. Al escribir el operador (laplaciano),,  en la forma apropiada lograra la transformación al sistema de coordenadas deseado. La ecuación de campo de Fourier escrita en coordenadas rectangulares es:

En términos generales, la ecuación de Fourier V=V(x,y,z,t) designa la temperatura del cuerpo en un punto (x,y,z) en el momento t.

De aquí partiremos para el análisis de nuestro proyecto.

 

                                                                                                                                                                           V. MONTAJE.

Para nuestro proyecto, se construyó un sistema termodinámico consistente en una barra de simetría cartesiana en cuyos extremos se estableció una diferencia de temperaturas de 100 °C  (figura 4).

La barra quedó montada sobre unos soportes que también sirvieron como soporte para la fuente de calor y la fuente fría (figura 5).

Se hicieron marcas sobre la barra cada 5 centimetros para tomar la medida de la temperatura en ellas. Siendo la longitud total de 25 centímetros.

El modo de lograr la diferencia de temperatura  fue mediante una resistencia eléctrica controlada con un controlador de temperatura en lazo cerrado  marca Watlow retroalimentado con la señal de un termopar tipo k.

 

 

 

Fig. 4 Montaje, visión simplificada, se muestra soporte, barra, fuente caliente y fuente fría.

 

Fig. 5 Componentes del sistema experimental.

 

 

Fig. 6 Controlador Watlow, Termómetro, Arrancador como interfaz de potencia.

 

Fig. 7 Resistencia con su arrancador, controlado por el controlador Watlow