martes, 24 de enero de 2012

LEY DE FOURIER. FLUJO DE CALOR EN UNA BARRA METÁLICA ESTABILIZADA ENTRE DOS PUNTOS DE TEMPERATURA

LEY DE FOURIER. FLUJO DE CALOR EN UNA BARRA METÁLICA ESTABILIZADA ENTRE DOS PUNTOS DE TEMPERATURA

 CETYS Universidad

 

Abstract-El objetivo fundamental de este proyecto  es el estudio del proceso de transferencia de calor aplicado a barras con coordenadas rectangulares de área constante, y composición homogénea de material y las propiedades térmicas de los sólidos. Por medio de este análisis aplicaremos las ecuaciones de la ley de Fourier en coordenadas rectangulares y verificaremos en un experimento la temperatura en diferentes puntos de  una barra estabilizada térmicamente entre dos fuentes de calor, una fuente caliente y una fuente fría.

 

                                                                                                                                                                   I.  INTRODUCCIÓN

Cuando las partículas están en movimiento dentro de un sistema, se produce un intercambio de calor entre ellas, este fenómeno se denomina: transferencia de calor. Debido a que se dan choques entre las moléculas que transfieren energía cinética de unas a otras.

Este informe consta de un marco teórico, datos experimentales, resultados, análisis de los mismos y las conclusiones obtenidas luego de realizar la práctica.

a.  Que es conducción térmica:

La transmisión de calor por conducción puede realizarse en cualquiera de los tres estados de la materia: sólido, líquido y gaseoso.

Para explicar el mecanismo físico de la conducción, pensemos en un gas en el que existe un gradiente de temperaturas y no hay movimiento global. El gas ocupa todo el espacio entre las dos superficies como se muestra en la figura 1. Asociamos la temperatura del gas en cualquier punto con la energía que poseen sus moléculas en las proximidades de dicho punto. Cuando las moléculas vecinas chocan ocurre una transferencia de energía desde las moléculas más energéticas a las menos energéticas. En presencia de un gradiente de temperaturas la transferencia de calor por conducción debe ocurrir en el sentido de la temperatura decreciente, esto es en la dirección positiva del eje de las x.

En los líquidos la situación es muy similar que en los gases, aunque las moléculas están menos espaciadas y las interacciones son más fuertes y frecuentes.

En los sólidos la conducción se produce por cesión de energía entre partículas continuas (Vibraciones reticulares).  En un sólido no conductor la transferencia de energía ocurre

 

Fig. 1 Moleculas en un gas, portadoras de energia cinética

 

solamente por estas vibraciones reticulares, en cambio en los sólidos conductores se debe también al movimiento de traslación de los electrones libres. La conducción en un medio material, goza pues de un soporte, que son sus propias moléculas y se puede decir que macroscópicamente no involucra transporte de materia.

 

                                                                                                                                                       II. EQUILIBRIO TÉRMICO

En primer lugar, construiremos un modelo simplificado que explique la conducción térmica, es decir, el establecimiento de un flujo de calor entre elementos adyacentes de la barra, cuando exista un gradiente de temperatura.

Cuando se ponen en contacto dos cuerpos a temperaturas diferentes, intercambiarán energía hasta que ambos alcancen el equilibrio térmico a la misma temperatura.

El equilibrio no es estático sino dinámico, ya que los dos cuerpos pueden intercambiar energía a nivel microscópico, aunque dicho intercambio tiene lugar en ambas direcciones, no habiendo en promedio intercambio neto en ninguna de las dos.

El caso más simple es aquél en el que ambos subsistemas tienen el mismo número de partículas, la temperatura de equilibrio es la media de las temperaturas iniciales de ambos cuerpos

En el caso general, de que el primer subsistema tenga N1 partículas a la temperatura inicial T1, y el segundo tenga N2 partículas a la temperatura T2 al ponerlos en contacto térmico intercambiarán energía hasta que se alcance la temperatura de equilibrio dada por la media ponderada

La temperatura final no es fija sino que fluctúa alrededor de la temperatura de equilibrio, las fluctuaciones, como podemos comprobar, disminuyen al incrementarse el tamaño del sistema.

Un concepto que podemos añadir es el de irreversibilidad que significa la improbabilidad de alcanzar el estado inicial desde el estado final de equilibrio a la misma temperatura. Esta improbabilidad se debe al gran número de constituyentes del sistema. El número de partículas es pequeño, pero en un sistema real el número de partículas es muy elevado, por ejemplo, un mol de cualquier sustancia contiene 6.02 1023 moléculas.

 

                                                                                                                       III. ESTUDIO DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR

Nuestro modelo de conducción térmica es una generalización del modelo anteriormente expuesto. Consideremos la barra metálica dividida en N trozos, cada trozo supondremos que constituye un subsistema a la misma temperatura, cada uno de ellos intercambia energía con los adyacentes, los de los extremos intercambian energía con los focos frío y caliente respectivamente. Se supone que los focos son tan grandes que su temperatura se mantiene constante durante todo el proceso.

El experimento consiste en asignar una temperatura fija a los subsistemas extremos y una temperatura inicial al resto, dejándoles interaccionar, hasta lograr el equilibrio.

Mediante este experimento podremos demostrar la validez de la ley de Fourier, que describe la distribución de la energía calorífica en un cuerpo en equilibrio térmico con geometrías específicas y materiales homogéneos

 Se produce un flujo de energía siempre que haya una diferencia de temperatura entre elementos adyacentes, y este flujo es tanto más grande cuanto mayor sea la diferencia de temperatura.

 

                                                                                                                                                             IV. LEY DE FOURIER.

Jean Baptiste Fourier en su obra Teoría Analítica del Calor (Theorie analytique de la chaleur) trata el problema de la difusión del calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, el problema discreto.

En su obra, afirma que la velocidad de conducción de calor a través de un cuerpo por unidad de sección transversal es proporcional al gradiente de temperatura que existe en el.

La ley de Fourier fue establecida en 1822 la cual fue:

Donde:




 

Fig. 2 Convenio de signos para la transmisión de calor

Fig. 3 Flujo de calor en una barra, la diferencia de temperaturas es entre sus extremos.

 

El signo menos (-) es consecuencia del Segundo Principio de la Termodinámica, según el cual, el calor debe fluir hacia la zona de temperatura más baja (figura 2). El gradiente de temperaturas es negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x,  por lo que si el calor transferido en la dirección positiva debe ser una magnitud positiva, en el segundo miembro de la ecuación anterior hay que introducir un signo negativo.

Sea J la densidad de corriente de energía (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), que se establece en la barra debido a la diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía J y el gradiente de temperatura.

Siendo K una constante característica del material denominada conductividad térmica. En la figura 3 se muestra un diagrama de cómo sería el flujo de energía calorífica en una barra.

La ecuación general para la relación de Transferencia de flujo de calor considera no solo el gradiente o derivada direccional en el sentido de uno solo de los ejes, sino en los tres, haciendo uso de la definición de gradiente:

Esta expresa el flujo de calor como la proporcionalidad al gradiente de temperatura.

En el proyecto utilizaremos la ecuación que es de transferencia de calor por conducción donde intuiremos que es el caso de sólidos donde Cp = Cv es:

Suponiendo que k es constante y si la conductividad térmica también la ecuación de la energía es:

Para un sistema en el que se encuentran presentes fuentes de calor pero no hay variación en el tiempo se reduce a la ecuación de Poisson:

Y la forma final de la ecuación de la conducción de calor que se presenta se aplica a una situación en estado estacionario sin fuentes de calor. Para este caso la distribución de la temperatura se debe satisfacer por la ecuación de Laplace:

Cada una de las ecuaciones pasadas se ha representado en forma general, así que cada una se aplica a cualquier sistema coordenadas ortogonales. Al escribir el operador (laplaciano),,  en la forma apropiada lograra la transformación al sistema de coordenadas deseado. La ecuación de campo de Fourier escrita en coordenadas rectangulares es:

En términos generales, la ecuación de Fourier V=V(x,y,z,t) designa la temperatura del cuerpo en un punto (x,y,z) en el momento t.

De aquí partiremos para el análisis de nuestro proyecto.

 

                                                                                                                                                                           V. MONTAJE.

Para nuestro proyecto, se construyó un sistema termodinámico consistente en una barra de simetría cartesiana en cuyos extremos se estableció una diferencia de temperaturas de 100 °C  (figura 4).

La barra quedó montada sobre unos soportes que también sirvieron como soporte para la fuente de calor y la fuente fría (figura 5).

Se hicieron marcas sobre la barra cada 5 centimetros para tomar la medida de la temperatura en ellas. Siendo la longitud total de 25 centímetros.

El modo de lograr la diferencia de temperatura  fue mediante una resistencia eléctrica controlada con un controlador de temperatura en lazo cerrado  marca Watlow retroalimentado con la señal de un termopar tipo k.

 

 

 

Fig. 4 Montaje, visión simplificada, se muestra soporte, barra, fuente caliente y fuente fría.

 

Fig. 5 Componentes del sistema experimental.

 

 

Fig. 6 Controlador Watlow, Termómetro, Arrancador como interfaz de potencia.

 

Fig. 7 Resistencia con su arrancador, controlado por el controlador Watlow

 

Fig. 8 Hielo en el extremo de la barra.

 

En el otro extremo se colocó hielo, de modo que se tuviera una diferencia de temperatura entre los extremos de la barra de 100 °C.

El proceso comenzó cuando se activó la resistencia para que comenzara el proceso de calentamiento del extremo de la barra a 100 °C y se colocó hielo en el otro extremo de la barra, para bajar su temperatura a 0 °C.

En ese momento la temperatura de la barra era la temperatura ambiente: 28 °C en todos los puntos de la barra, como se muestra en la grafica.

 

 

 

                                                                                                                               VI. APLICACIÓN DE LA LEY DE FOURIER.

Después de un tiempo que se supone infinito, en teoría, aunque en la práctica depende del tipo de material de la barra que se usó, se establece un estado estacionario en el que la temperatura de los diferentes puntos de la barra no varía con el tiempo.

Este estado se caracteriza por un flujo J estable de energía. La ley de Fourier establece que la temperatura variará de manera lineal a la distancia x del origen de la barra, en donde se está aplicando calor:

La temperatura en cualquier punto x de la barra en un instante determinado t es T(x, t), antes de que se haya alcanzado el equilibrio debe considerar el estado transitorio del flujo de temperatura, y además la parte estable, considerando las condiciones iniciales del experimento, como la longitud y la temperatura inicial. Es necesario resolver la ecuación diferencial:

En esta ecuación, las condiciones iniciales, temperatura To en el instante inicial, y las temperaturas en los extremos Ta (para x=0) y Tb (para x=L) permanecen constantes, lo cual nos ayuda para encontrar los valores de k según n sea par o impar:

n par:

n impar:

Así, la temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x, y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.  

                                                                                                                   VII. ESTABILIZACION DE LA FUENTE CALIENTE

Estabilizar el punto inicial de la barra a 100 °C tuvo sus complicaciones, dado que durante el diseño del experimento no se tuvo en consideración las dimensiones del soporte y la utilización de una Prensa de carpintero, que por estar en contacto con la barra y la resistencia calefactora, y por ser de naturaleza metálica, también absorbieron calor y lo transmitieron a otros puntos del sistema, no sólo hacia la barra.

Esta disipación de calor tuvo que considerarse al ajustar el preset del controlador de temperatura, de modo que el calor fluyera hacia el sistema de soporte y también hacia la barra, poniendo el punto inicial de la barra a 100 °C.

Fue por esto que se cambió el ajuste inicial del controlador varias veces durante la etapa de estabilización, mientras se alcanzaba el valor requerido en el inicio de la barra.

A continuación se ponen dos gráficas, en la que se muestran los ajustes de preset en el controlador hechos en el tiempo considerando la disipación de calor del sistema y la temperatura medida en el inicio de la barra en los mismos instantes. Puede establecerse que el tiempo transcurrido para que la temperatura se estabilizara alrededor de 100 grados (osciló alrededor de él con un error de 2 grados) fue de media hora.

 

Grafico 1 Gráfica de Ajustes de preset en el controlador de temperatura (el eje horizontal es la hora en que se registro el cambio)

 

Grafico 2 Grafica de temperaturas en el punto inicial de la barra (el eje horizontal es la hora en que se hizo la medición)

                                                                                                                                           VIII. RESULTADOS OBTENIDOS

Se hicieron tomas de temperatura en diferentes momentos del experimento, para observar cómo es que se fue distribuyendo el calor a lo largo de la barra.

La tabla 1 muestra las mediciones hechas en distintos momentos del experimento:

 

Y a continuación se especifican las gráficas de los datos obtenidos, recordando que la ley de Fourier establece que el flujo de calor se distribuirá linealmente en una barra cuyos extremos se encuentran a distintas temperaturas.

 


 

La distribución de temperaturas es igual en todos los puntos de la barra.

 

 

Los extremos de la barra son los que primero alcanzan una temperatura diferente, de acuerdo con las fuentes de calor acopladas a ellos.

 

El calor se va distribuyendo por toda la longitud de la barra, pero no se han alcanzado las temperaturas deseadas en los extremos.

 

 

A los veinte minutos se tiene que la parte central de la barra muestra una distribución de calor un poco horizontal, pero tiende a alinearse con la distribución de calor de los extremos.

 

 

A los treinta minutos de haber iniciado el experimento se tienen mediciones cuya gráfica se aproxima a la línea recta. De acuerdo con lo indicado por la ley de Fourier.

                                                                                                                                                                   IX. CONCLUSIÓN

Con los resultados se comprueba que la transferencia de calor por conducción es un proceso mediante el cual fluye el calor desde una región de alta temperatura a una región de baja temperatura dentro de un medio o entre medios diferentes en contacto físico directo.

Los valores de conductividad térmica dependen del material y de la temperatura. Un material será mejor conductor de calor mientras mayor sea su la conductividad del mismo. Debido a que se comprobaron los valores de temperatura, se observa que existe un estado estacionario ya que en la misma no se observó variación con respecto al tiempo. Con los resultados de las gráficas obtenidos se comprobó que la transferencia de calor es mejor a menor longitud.

Una mejoría que se le puede hacer al sistema es considerar el diseño de bases más delgadas, o que el contacto de la barra sea el mínimo posible, así no se complicaría tanto el ajuste de la temperatura en la resistencia por medio del controlador de temperatura.

 

 

BIBLIOGRAFÍA

PERRY. Manual del Ingeniero Químico. Tomo III. Editorial Mc GRAW - HILL.

Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa. 2da Edición. Editorial LIMUSA WILEY.

http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_termo/conduc_term.pdf

http://www.ing.unrc.edu.ar/materias/energia_solar/archivos/teoricos/teorico_conduccion.pdf